Question

14．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为C上一点．若|MF|=2p，△MOF的面积为4$\sqrt{3}$，则抛物线方程为y²=8x．

Answer 1

分析 根据M为抛物线上一点，且|MF|=2p，可确定M的坐标，利用△MFO的面积，求出p，即可求得抛物线的方程．

解答 解：由题意，F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
∵|MF|=2p．
∴M的横坐标为2p-$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$p
∴M的纵坐标为y=$±\sqrt{3}$p
∵△MFO的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×$$\frac{p}{2}$×$\sqrt{3}p$=4$\sqrt{3}$，
∴p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标．