Question

某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过

1

2

，且他直到参加第二次考核才合格的概率为

9

32

（I）求小张第一次参加考核就合格的概率P₁；
（II）求小张参加考核至多3次就合格的概率．

Answer 1

分析：（I）根据题意写出关于概率的方程，解方程即可得到要求的结果，根据条件中对于概率的要求，舍去不合题意的．
（II）根据题意得到变量的可能取值，由（1）的结论知，小张四次考核每次合格的概率依次为

5

8

，

3

4

，

7

8

，1，进而得到答案．

解答：解：（I）由题意得(1-p1)(p1+

1

8

)=

9

32

，
∴p1=

1

4

或

5

8

．
∵p1＞

1

2

，
∴p1=

5

8

．
所以小张第一次参加考核就合格的概率为

5

8

．
（II）由（I）知小张4次考核每次合格的概率依次为

5

8

，

3

4

，

7

8

，1，
所以P(X=1)=

5

8

，P(X=2)=

9

32

，P(3)=

21

256

，
所以小张参加考核至多3次就合格的概率为p1+p2+p3=

253

256

．

点评：本题解题的关键是在第一问求出要用的概率，本题是一个必出现在高考卷中的题目类型．