题目内容
某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 32 |
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．
分析：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果．
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为
，
，
，
，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．
| 1 |
| 8 |
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
解答：解：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为
．
得（1-p1）（p1+
）=
，
解得p1=
或p1=
．
∵p1≤
，∴p1=
，
即小李第一次参加考核就合格的概率为
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为
，
，
，
，
∴P（ξ=1）=
，P（ξ=2）=
，
P（ξ=3）=（1-
）（1-
）
=
P（ξ=4）=（1-
）•（1-
）•（1-
）•1=
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•
+2•
+3•
+4•
=
| 1 |
| 8 |
且他直到第二次考核才合格的概率为
| 9 |
| 32 |
得（1-p1）（p1+
| 1 |
| 8 |
| 9 |
| 32 |
解得p1=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
∵p1≤
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
即小李第一次参加考核就合格的概率为
| 1 |
| 4 |
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
∴P（ξ=1）=
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 32 |
P（ξ=3）=（1-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 64 |
P（ξ=4）=（1-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 64 |
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 32 |
| 15 |
| 64 |
| 15 |
| 64 |
| 157 |
| 64 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题目．
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