Question

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：学员必须按顺序从第一次开始参加考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过

1

2

，且他直到参加第二次考核才合格的概率为

9

32

．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）小李第四次参加考核的概率．

Answer 1

分析：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果．
（2）根据小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，结合地（1）中结论，可求出前三次考核合格的概率，参加第四次考核即前三次考查均不合格，由此可得答案．

解答：解：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为

9

32

．
得 （1-P₁）•（P₁+

1

8

）=

9

32

，
解得P₁=

1

4

或P₁=

5

8

．
∵P₁≤

1

2

，
∴P₁=

1

4

，
即小李第一次参加考核就合格的概率为

1

4

（2）∵小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，
由（1）的结论知，小李第一次考核每次合格的概率为

1

4

，
小李第一次考核每次合格的概率为

1

4

，
小李第二次考核每次合格的概率为

3

8

，
小李第三次考核每次合格的概率为

1

2

，
∴小李第四次参加考核的概率为（1-

1

4

）•（1-

3

8

）•（1-

1

2

）=

15

64

点评：本题解题的关键是在第一问求出要用的概率，本题是一个必出现在高考卷中的题目类型．