Question

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，长轴长等于4，离心率为$\frac{1}{2}$，直线AB过焦点F₁且与椭圆C交于A、B两点（A在第一象限），△F₁AF₂与△F₁BF₂的面积比为7：3．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由于2a=4，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）可设直线AB的方程为：my-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²-6my-9=0，由△F₁AF₂与△F₁BF₂的面积比为7：3．可得$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，与根与系数的关系联立解出m即可得出．

解答 解：（1）∵2a=4，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）可设直线AB的方程为：my-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my-1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，（*）
∵△F₁AF₂与△F₁BF₂的面积比为7：3．
∴$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，
与（*）联立可得：m=$±\frac{4}{3}$．
∴直线BA的方程为：$±\frac{4}{3}$y-1=x，即3x±4y+3=0．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．