Question

13．已知A（a，2），B（1，b）为平面直角坐标系中第一象限的两点，C（4，-1），O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，则2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 由投影相等得出数量积相等，得出a，b的关系，利用基本不等式得出$\sqrt{ab}$的最大值．计算（2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²的最大值，再开方即可求出2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，
即4a-2=4-b，∴4a+b=6．
∵4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，即6≥4$\sqrt{ab}$，∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{3}{2}$．
∴（2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=4a+b+4$\sqrt{ab}$=6+4$\sqrt{ab}$≤6+6=12．
∴2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$的最大值为$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．