Question

已知a，b均为实数，设数集A={x|a≤x≤a+

4

5

}，B={x|b-

1

3

≤x≤b}，且数集A、B都是数集{x|0≤x≤1}的子集．如果把n-m叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”，那么集合A∩B的“长度”的最小值是

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由已知得a≥0且a+

4

5

≤1，解得 0≤a≤

1

5

，b-

1

3

≥0且b≤1，解得

1

3

≤b≤1，从而当b=

1

3

，a=

1

5

或b=1，a=0时A∩B的长度最小．

解答： 解：由已知得a≥0且a+

4

5

≤1，解得 0≤a≤

1

5

，
b-

1

3

≥0且b≤1，解得

1

3

≤b≤1，
从而当b=

1

3

，a=

1

5

或b=1，a=0时A∩B的长度最小，
当b=

1

3

，a=

1

5

时，A∩B=[

1

5

，

1

3

]，长度为

2

15

；
当b=1，a=0时，A∩B=[

2

3

，

4

5

]，长度为

2

15

．
所以A∩B的长度的最小值是

2

15

．
故答案为：

2

15

．

点评：本题考查集合A∩B的“长度”的最小值的求法，是中档题，解题时要注意交集性质和不等式性质的合理运用．