Question

16．设函数f（x）=|x-1|+|x-3|．
（1）解不等式：f（x）≤4；
（2）对?x∈R，a²-|a|≤f（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点法，去除绝对值符号，解相应的不等式，最后综合讨论结果，可得答案；
（2）先利用绝对值三角不等式求f（x）的最小值，进而利用零点分段法，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当x＜1时，不等式f（x）≤4可化为：4-2x≤4，解得：x≥0，
∴0≤x＜1；
当1≤x≤3时，不等式f（x）≤4可化为：2≤4，恒成立；
当x＞3时，不等式f（x）≤4可化为：2x-4≤4，解得：x≤4，
∴3＜x≤4，
综上可得：原不等式的解集为：[0，4]；
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-3|=|1-x|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2．
若对?x∈R，a²-|a|≤f（x），
则a²-|a|≤2，
当a≥0时，即a²-a-2≤0，解得：-1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
当a＜0时，即a²+a-2≤0，解得：-2≤a≤1，
∴-2≤a＜0，
综上可得实数a的取值范围为：[-2，2]．

点评 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，零点分段法，难度中档．