Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）．
（1）用$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{a}$；
（2）若（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，求$\overrightarrow{d}$．

Answer 1

分析 （1）由题意设$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，由题意可得xy的方程组，解方程组可得；
（2）设$\overrightarrow{d}$=（m，n），则由题意可得mn的方程组，解方程组可得．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1），
设$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{b}$+y$\overrightarrow{c}$，则（3，2）=x（-1，2）+y（4，1），
故$\left\{\begin{array}{l}{3=-x+4y}\\{2=2x+y}\end{array}\right.$，解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{9}}\\{y=\frac{8}{9}}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{5}{9}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{8}{9}$$\overrightarrow{c}$；
（2）设$\overrightarrow{d}$=（m，n），则$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$=（m-4，n-1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，4），
∵（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，
∴4（m-4）=2（n-1）且（m-4）²+（n-1）²=5，
联立解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-1}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{d}$=（5，3）或（3，-1）

点评 本题考查平面向量共线的坐标表示，涉及向量的模长和方程组的解法，属中档题．