Question

16．已知$f（x）={cos^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{sin^4}x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（3）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：由$f（x）={cos^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{sin^4}x$．
?$f（x）=（{{{cos}^2}x+{{sin}^2}x}）（{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}）+\sqrt{3}sin2x$
?f（x）=$co{s}^{2}x-si{n}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
?f（x）=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$
?f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由正弦函数图象及性质可得：
$2x+\frac{π}{6}∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$（k∈Z）是单调增区间，即：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（3）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]，则2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]，则sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$．
当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1时，f（x）取得最大值，即f（x）_max=2；
当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=$-\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．