Question

4．已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，则f（x）的单调递减区间是（　　）

• A． [kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• B． [kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• C． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，再根据余弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．

解答 解：若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，
则f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，
即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，
则φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又0＜φ＜π，
所以φ=$\frac{2π}{3}$，
所以f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）；
令2x+$\frac{2π}{3}$∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，
解得x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；
则f（x）的单调递减区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，其中解题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是基础题目．