Question

5．已知函数f（x）=2x²-（a+2）x+a．
（Ⅰ）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）＞0解集；
（Ⅱ）当x＞1时，若f（x）≥-1恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）先因式分解，再分类讨论即可求出不等式的解集，
（2）转化为有$a≤2x+\frac{1}{x-1}$恒成立，根据基本不等式即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）∵2x²-（a+2）x+a=2（x-$\frac{a}{2}$）（x-1）
∴（x-$\frac{a}{2}$）（x-1）＞0
①当0＜a＜2时，$\frac{a}{2}$＜1，不等式的解集为$\left\{{x|x＜\frac{a}{2}，或x＞1}\right\}$
②当a=2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}
③当a＞2时，不等式的解集为$\left\{{x|x＜1，或x＞\frac{a}{2}}\right\}$…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-1，∴2x²-（a+2）x+a≥-1
又∵x＞1∴有$a≤2x+\frac{1}{x-1}$恒成立           …（8分）
∵$2x+\frac{1}{x-1}=2（x-1）+\frac{1}{x-1}+2≥2\sqrt{2}+2$…（10分）
当且仅当$x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立
∴$a≤2\sqrt{2}+2$，a的最大值是$2\sqrt{2}+2$…（12分）

点评 本题考查了不等式的解集问题，利用基本不等式求最值问题，对于恒成立问题常转化为最值问题或分离参数后再求最值，关键是分类讨论．