Question

14．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD=1，PD⊥面ABCD，E为棱BC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线PB和DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由于PD⊥面ABCD，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•{S}_{正方形ABCD}•PD$，即可得出．
（2）如图所示，取AD的中点F，连接BF，PF，可得四边形BEDF是平行四边形，于是∠PBE或其补角是异面直线PB和DE所成角．在△PBF中，由余弦定理可得．

解答 解：（1）∵PD⊥面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•{S}_{正方形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1$=$\frac{4}{3}$．
（2）如图所示，取AD的中点F，连接BF，PF．
BE$\underset{∥}{=}$DF，∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF$\underset{∥}{=}$DE．
∴∠PBE或其补角是异面直线PB和DE所成角．
△PBF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PF=$\sqrt{P{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{1+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3．
由余弦定理可得：cos∠PBF=$\frac{{3}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×3×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质定理、异面直线所成的角、三棱锥的体积计算公式、余弦定理、勾股定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．