Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）长轴长为10，离心率为e=$\frac{3}{5}$．设直线l过椭圆的右焦点，且斜率为$\frac{4}{5}$，与椭圆相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程；
（Ⅲ）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）由（I）可得椭圆的右焦点F（3，0），利用点斜式可得：直线l的方程．
（III）直线方程与椭圆方程联立化为x²-3x-8=0，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2a=10}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=5，b=4，c=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
（II）由（I）可得椭圆的右焦点F（3，0），
∴直线l的方程为y-0=$\frac{4}{5}$（x-3），化为4x-5y-12=0．
（III）联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-5y-12=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化为x²-3x-8=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=-8．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\frac{4}{5}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{41}{25}×[{3}^{2}-4×（-8）]}$=$\frac{41}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．