Question

15．设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，其左，右焦点分别为F₁，F₂，若双曲线右支上一点P满足∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$3\sqrt{3}{a^2}$，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 利用余弦定理，可得4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．根据S_△PF1F2=3$\sqrt{3}{a}^{2}$，可得|PF₁|•|PF₂|=12a²，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos$\frac{π}{3}$
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．
又∵S_△PF1F2=3$\sqrt{3}{a}^{2}$．
∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}{a}^{2}$．
∴|PF₁|•|PF₂|=12a²．
∴4c²=4a²+12a²，即c=2a．
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 此题是个中档题．考查双曲线的定义及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算．