Question

【题目】如图，欲在一四边形花坛内挖一个等腰三角形的水池，且，已知四边形中，是等腰直角三角形，米，是等腰三角形，，的大小为，要求的三个顶点在花坛的边缘上（即在四边形的边上），设点到水池底边的距离为，水池的面积为平方米.

（1）求的长；

（2）试将表示成关于的函数，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）14；（2），最大值为；

【解析】

(1) 设与交于,在两个三角形中计算出,再相加即可得到;

(2)分和两种情况讨论得到关于的函数,再分段求最大值,即可得到.

(1)设与交于,如图所示:

因为,,所以为的垂直平分线,所以为的中点,

所以,

在直角三角形中,,

因为 ,

所以,

所以,

所以,

解得或(舍去),

所以,

所以.

(2)因为,所以时的垂直平分线,,

所以当时,点在边上,所以,

所以,此时当时,取得最大值36,

当时,点在边上,此时,

所以,

所以,

所以当 时,取得最大值,最大值为.

因为,

所以当时,的最大值为.

综上所述:,的最大值为.