Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右两个焦点分别为设，若为正三角形且周长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，是否存在实数使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

(3)若过点的直线与椭圆相交于不同的两点两点，记的面积记为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】;答案见解析

【解析】

（1）为正三角形且周长为，得周长等于,在中故得,在椭圆中有,列出方程组即可求得和的值进而求得椭圆方程;

（2）假设存在实数使成立,则．联立,通过韦达定理求解,若有解,假设成立,否则不成立.

（3）分类讨论,设直线的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及基本不等式的性质,即可求得的取值范围．

(1)为正三角形且周长为,故得:

在中,故得

椭圆 , 故得

联立方程可得:

解得:

故椭圆的标准方程: .

(2)假设存在实数使成立,则

设点设,

则: ①

设直线方程为

联立，消掉y得,

显然,方程有根,且 ②, ③

将代入①式得: ④

把②③式代入④式得:

化简可得: 即: 得

所以不存在实数使成立.

（3）当直线无斜率时，直线方程为此时 ，记的面积记为,

当直线斜率存在(显然)时，设直线方程为

设,联立，消掉y得,

显然方程有根,且,

此时

因为则|（时等号成立）

所以的最大值为,则

的取值范围.