Question

7．设a是一个接近于$\sqrt{2}$的正有理数，并且b=$\frac{a+2}{a+1}$．
（1）证明：$\sqrt{2}$在a与b之间，且b比a更接近于$\sqrt{2}$；
（2）请你在求出另一个代数式，使它表示a与$\sqrt{2}$之间的有理数，且比b更接近于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到$\sqrt{2}$在a与b之间；再利用作差法，判断|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|＜0，即可得到结论；
（2）首先利用作差法判断$\sqrt{2}$在$\frac{a}{b}$和$\frac{a+2b}{a+b}$之间，然后分别取b=1，2，对$\frac{a+4}{a+2}，\frac{a+2}{a+1}$作出比较得答案．

解答 （1）证明：∵b-$\sqrt{2}$=$\frac{a+2}{a+1}$-$\sqrt{2}$=$\frac{a+2-\sqrt{2}a-\sqrt{2}}{a+1}$=$\frac{（a-\sqrt{2}）（1-\sqrt{2}）}{a+1}$．
若0＜a$＜\sqrt{2}$，则b-$\sqrt{2}＞0$，b$＞\sqrt{2}$；
若a$＞\sqrt{2}$，则$b-\sqrt{2}＜0$，b$＜\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$在a与b之间．
又：|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|=|a-$\sqrt{2}$|×$\frac{\sqrt{2}-2-a}{a+1}$．
∵$\sqrt{2}-2＜0，a＞0$，
∴$\frac{\sqrt{2}-2-a}{a+1}$＜0，
∵|a-$\sqrt{2}$|＞0，
∴|b-$\sqrt{2}$|-|a-$\sqrt{2}$|＜0，
∴|y-$\sqrt{2}$|＜|a-$\sqrt{2}$|，即b比a更接近于$\sqrt{2}$；
（2）解：∵$（\sqrt{2}-\frac{a}{b}）（\sqrt{2}-\frac{a+2b}{a+b}）=\frac{（\sqrt{2}b-a）^{2}（1-\sqrt{2}）}{b（a+b）}＜0$．
∴$\sqrt{2}$在$\frac{a}{b}$和$\frac{a+2b}{a+b}$之间，
当b=1时，$\frac{a+2b}{a+b}=\frac{a+2}{a+1}$，
当b=2时，$\frac{a+2b}{a+b}=\frac{a+4}{a+2}$，
$\frac{a+4}{a+2}-\frac{a+2}{a+1}=\frac{{a}^{2}+5a+4-{a}^{2}-4a-4}{（a+2）（a+1）}=\frac{a}{（a+2）（a+1）}＞0$．
∴$\frac{a+4}{a+2}$比$\frac{a+2}{a+1}$更接近于$\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键，属难题．