题目内容

18.若直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点,则a+b的取值范围(  )
A.($\frac{3}{2}$,3)B.(-3,3)C.(-3,$\frac{3}{2}$)D.(-1,3)

分析 由题意画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域,结合直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点得到关于a,b的不等式组,然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围.

解答 解:不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图,

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$,解得A(1,2).
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$,解得B(-4,0).
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$,解得C(4,-4).
要使直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点,
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4>0}\\{-4a-4>0}\\{a-b-1>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4<0}\\{-4a-4<0}\\{a-b-1<0}\end{array}\right.$.
(a,b)所在平面区域如图,

联立$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a-b-1=0}\end{array}\right.$,解得M(-1,-2),
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{a+2b-4=0}\end{array}\right.$,解得N(2,1),
令t=a+b,即b=-a+t,
∴当直线b=-a+t过M时,t有最小值为-3;当直线b=-a+t过N时t有最大值为3.
∴t=a+b的范围是(-3,3).
故选:B.

点评 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.

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