Question

已知关于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求这两个实根的和．

Answer 1

分析：（1）先将方程有且只有两个不同的实根问题转化为函数y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]与函数y=-

a

2

有且只有两个不同的交点的问题，画出函数图象，数形结合解得a的范围；（2）利用函数图象的对称性即可利用中点坐标公式计算这两个实根的和

解答：解：（1）关于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根，即sin（x+

π

3

）=-

a

2

在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根，
即函数y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]与函数y=-

a

2

有且只有两个不同的交点，
函数y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]的图象如图：数形结合可得：

3

2

＜-

a

2

＜1或-1＜-

a

2

＜

3

2

解得-2＜a＜-

3

或-

3

＜a＜2即所求
（2）由图象可知两交点关于x=

π

6

或x=

7π

6

对称
∴这两个实根的和为2×

π

6

=

π

3

或2×

7π

6

=

7π

3

∴这两个实根的和为

π

3

或

7π

3

点评：本题主要考查了方程的根与函数的零点及函数图象交点问题间的转化关系，函数y=Asin（ωx+φ）图象的画法，数形结合解决交点问题的思想方法