Question

10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A₁，C₁，F，E四点共面，并求直线CD₁与平面A₁C₁FE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$和$\overrightarrow{EF}$的坐标，利用向量共线定理得出四点共面，求出$\overrightarrow{C{D}_{1}}$和平面A₁C₁FE的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线CD₁与平面A₁C₁FE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞|．

解答 解：以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A₁（2，0，1），C₁（0，2，1），E（2，1，0），F（1，2，0）．D₁（0，0，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=2$\overrightarrow{EF}$．∵A₁，C₁，E，F四点不共线，
∴A₁C₁∥EF，
∴A₁，C₁，F，E四点共面．
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，1）．
设平面A₁C₁FE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直线CD₁与平面A₁C₁FE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了线面角的计算，多采用空间向量法来解决问题．属于中档题．