Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证函数f（x）在区间[0，1）上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，可得切线斜率，求出切点的坐标，即可得出切线方程；
（2）分离参数，构造函数求最值，即可求实数a的取值范围；
（3）证明f'（0）•f'（1）＜0，f'（x）在[0，1]上单调递增，可得f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点，再利用二分法求出x的近似值．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+2x²-3x，
∴f′（x）=e^x+4x-3，
∴f′（1）=e+1，
∵f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1），即（e+1）x-y-2=0；
（2）x≥1时，不等式f（x）≥ax，可得a≤

ex+2x2-3x

x

，
令g（x）=

ex+2x2-3x

x

，∴g′（x）=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a≤e-1；
（3）∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）•f'（1）＜0
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，
则h'（x）=e^x+4＞0，f'（x）在[0，1]上单调递增，
∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零点，f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点．
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下

由上表可知区间[0.3，0.6]的长度为0.3，所以该区间的中点x2=0.45，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x的值
∴函数y=f（x）取得极值时，相应x≈0.45．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值与零点，正确分离参数求最值是关键．