Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量

m

=（cosA，cosB）与向量

n

=（a，2c-b）共线．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设等比数列{a_n}中，a₁cosA=1，a₄=16，记b_n=log₂a_n•log₂a_n+1，求{

1

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据向量平行得出cosA（2c-b）=acosB，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（Ⅱ）由题意可得等比数列的公比q，进而可得数列{a_n}的通项公式；根据b_n=log₂a_n可得数列{b_n}的通项，裂项法求{

1

bn

}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（cosA，cosB）与向量

n

=（a，2c-b）共线，
∴cosA（2c-b）=acosB，
∴cosA（2sinC-sinB）=sinAcosB，
∴2cosAsinC=sin（A+B），
∴2cosAsinC=sinC，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a₁cosA=1，
∴a₁=2，
∵a₄=16，
∴公比q=2，
∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n•log₂a_n+1=n（n+1），
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题是中档题，考查向量的平行关系的应用、两角差正弦函数的应用，考查数列的通项与求和等知识，考查计算能力．