Question

12．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（　　）
①曲线$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$与曲线$\frac{x^2}{16-k}+\frac{y^2}{9-k}=1（k＜9）$有相同的焦点；
②方程2x²-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③过椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的右焦点F₂作动直线l与椭圆交于A，B两点，F₁是椭圆的左焦点，则△AF₁B的周长不为定值．
④过抛物线y²=4x的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①求出焦距、确定焦点的位置；②解出两个根；③利用定义，转化；④利用定义

解答 ①正确：两个曲线都是椭圆，求出的焦距都是$2\sqrt{7}$，且焦点都在x轴上，所以它们有相同的焦点
②不正确：方程的两个解是$\frac{1}{2}$和1，前者是椭圆的离心率后者是抛物线的离心率
③不正确：△AF₁B的周长是点A，B分别到两个焦点的距离之和，即等于4a=20，为定值
④正确：抛物线过焦点的弦AB长度的最小值是2p=4，长度大于4的弦都有且只有两条．由题设AB=x_A+1+x_B+1=7＞4，因此这样的直线有且只有两条
正确的答案有两个，所以选B

点评 本题属于基础题，掌握圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质就可以解出