Question

在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=-2ccosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2

3

，求边c的长．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC，化简可得cosC=-

1

2

，结合C的范围求C的值；
（Ⅱ）由a+b=6得a²+b²+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a²+b²的值，利用余弦定理求出c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=-2ccosC，
正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC，
sin（A+B）=-2sinCcosC，
由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosC=-

1

2

，
由0＜C＜π得，C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵a+b=6，∴a²+b²+2ab=36，
∵△ABC的面积为2

3

，∴

1

2

absinC=2

3

，即

1

2

ab×

3

2

=2

3

，
化简得，ab=8，则a²+b²=20，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2absinC=20-2×8×(-

1

2

)=28，
所以c=2

7

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值，注意角的范围确定，属于中档题．