Question

在等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），且a₅=4，a₄+a₆=10，
（1）求数列{a_n}前n项和S_n；
（2）设b_n=log₂a_n，试用定义证明数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式，求出首项与公比，即可求数列{a_n}前n项和S_n；
（2）确定数列{b_n}的通项，再利用定义证明数列{b_n}是等差数列．

解答： 解：（1）∵a₅=4，a₄+a₆=10，
∴a₁q⁴=4，a₁q³+a₁q⁵=10，
∵q∈（0，1），
∴a₁=64，q=

1

2

，
∴an=27-n；S_n=

64[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=128（1-2^-n）；
（2）证明：由（1）可得an=27-n，
∴b_n=log₂a_n=log227-n=7-n，b₁=6…6分
∴b_n+1-b_n=7-（n+1）-7+n=-1，
∴{b_n}是以首项为6，公差为-1的等差数列．

点评：本题考查定义证明数列{b_n}是等差数列，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．