Question

设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，并且cos²B-cos²A=cos（

π

6

-B）•cos（

π

6

+B）
（1）求角A；
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，且b＜c，求边b，c．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由三角函数公式变形可得cosA=

1

2

，结合角的范围可得A=

π

3

；
（2）由数量积和已知可得bc=24①又由余弦定理可得28=b²+c²-bc=（b+c）²-72，可得b+c=10②，解方程组可得．

解答： 解：（1）∵cos2B-cos2A=cos(

π

6

-B)cos(

π

6

+B)=(

3

2

cosB+

1

2

sinB)(

2

2

cosB-

1

2

sinB)
=

3

4

cos2B-

1

4

sin2B，∴cos2A=

1

4

cos2B+

1

4

sin2B=

1

4

，
∵A为为锐角△ABC的内角，∴cosA=

1

2

，A=

π

3

（2）∵

AB

•

AC

=12，∴cbcosA=12，∴bc=24①
又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
∴28=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-72
∴b+c=10②
又b＜c由①②得b=4，c=6

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数公式和解三角形，属基础题．