Question

2．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且满足f（x-2）+f（-x+2）=0，若任意的x，y∈R，不等式f（x²-4x+4）+f（y²-6y）≤0恒成立，则当x≥2时，x²+y²的取值范围（　　）

• A． （13，49）
• B． [2，2+$\sqrt{13}$]
• C． [2，13]
• D． [4，22+6$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，则原不等式即为f（x²-4x+4）≤-f（y²-6y）=f（6y-y²），
由函数y=f（x）是定义在R上的增函数，可得x²-4x+4≤6y-y²，即有（x-2）²+（y-3）²≤9，即为圆及圆内的点，运用数形结合的思想方法，即可得到所求最值．

解答 解：由f（x）满足f（x-2）+f（-x+2）=0，
将x-2换为x，可得f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
由不等式f（x²-4x+4）+f（y²-6y）≤0恒成立，
可得f（x²-4x+4）≤-f（y²-6y）=f（6y-y²），
由函数y=f（x）是定义在R上的增函数，可得
x²-4x+4≤6y-y²，即有（x-2）²+（y-3）²≤9，
表示圆心（2，3），半径为3的圆及圆内的点，
当x≥2时，x²+y²的几何意义为（x，y）与（0，0）的距离的平方．
如图，可得当x=2，y=0时，取得最小值，且为4；
连接OC，延长交圆于D，可得|OD|²=（3+$\sqrt{13}$）²=22+6$\sqrt{13}$．
则x²+y²的取值范围是[4，22+6$\sqrt{13}$]．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查圆的方程及运用，以及数形结合的思想方法，属于中档题．