Question

12．已知点P是圆C：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上任意一点，A（$\sqrt{3}$，0）是圆C内一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP交于点Q，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，-2）的动直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积最大时，求此时直线的方程．

Answer 1

分析 （1）直接由题意可得|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，则点Q的轨迹方程可求；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意可设直l的方程为：y=kx-2，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出S_△OMN．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，
又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…（2分）
∴|CQ|+|AQ|=4＞|AC|=2$\sqrt{3}$
由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，a=2，c=$\sqrt{3}$…（3分）
∴b=1，
∴点Q的轨迹E的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．…（5分）
（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组，将y=kx-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
当△＞0时，即k²＞$\frac{3}{4}$时，x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…（7分）

则△OMN的面积S=$\frac{1}{2}$|OB||x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$…（8分）
设$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t＞0，
∴${S_{△OMN}}=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤1，当且仅当t=\frac{4}{t}即t=2时面积最大$，最大值为1…（10分）
∴$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=2，k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，满足△＞0…（11分）
∴直线的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x-2…（12分）

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于中档题．