Question

【题目】在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.

（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0，C2的普通方程为x2＋y2＝1；

（2）.

【解析】

（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，化简即可求得C1的直角坐标方程，结合三角函数的基本关系式，消去参数，即可求得C2的普通方程；

（2）将曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3C3的参数方程为为参数），设N（2cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，求得d有最小值，即可求解.

（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，

即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，

所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，

故C2的普通方程为x2＋y2＝1.

（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，

则曲线C3的参数方程为为参数）.

设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离

（其中满足）

当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，

所以|MN|的最小值为.