Question

18．已知数列{a_n}满足a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“期盼数”，则在区间[1，2016]内所有的“期盼数”的和为（　　）

• A． 2036
• B． 4076
• C． 4072
• D． 2026

Answer 1

分析 a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，可得乘积a₁•a₂•a₃…a_k=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$．当且仅当k+2=2ⁿ（n∈N^*）时，满足题意．在区间[1，2016]内所有的“期盼数”为2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）=$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$，
则乘积a₁•a₂•a₃…a_k=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×$…×$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$．
当且仅当k+2=2ⁿ（n∈N^*）时，满足题意．
∴在区间[1，2016]内所有的“期盼数”为2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴在区间[1，2016]内所有的“期盼数”的和=$\frac{4（{2}^{9}-1）}{2-1}$-2×9=2026．
故选：D．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．