Question

10．设函数f（x）=x³+ax²+bx在x=1和x=-$\frac{2}{3}$都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）当x∈[-1，2]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用导数与极值之间的关系建立方程求解；
（2）利用导数通过表格求函数的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b      …1
因为函数f（x）在x=1和x=-$\frac{2}{3}$取到极值，即f′（-$\frac{2}{3}$）=0，f′（1）=0．
所以，f′（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a+b=0$，f′（1）=3+2a+b=0
解得 a=-$\frac{1}{2}$，b=-2        …3
（2）由（1）可得f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x

x	-1	（-1，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	$\frac{1}{2}$	递增	$\frac{22}{27}$	递减	-$\frac{3}{2}$	递增	2

所以，在[-1，2]上，f_max（x）=f（2）=2．

点评 本题的考点是函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的最大值和最小值问题．