Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，a₂是a₁和a₁=S₁=4的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得S_n=（a₁+1）•2^n-1-1，从而a₁•（2a₁+2），由此能求出a_n=2^n-1．
（2）由nan=n•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列的前n项和．

解答： 解：（1）∵{S_n+1}是公比为2的等比数列，
∴Sn+1=(S1+1)•2n-1=（a₁+1）•2^n-1，
∴S_n=（a₁+1）•2^n-1-1，（2分）
从而a₂=S₂-S₁=a₁+1，
a₃=S₃-S₂=2a₁+2，
∵a₂是a₁和a₃的等比中项，∴a₁•（2a₁+2），
解得a₁=1或a₁=-1，（4分）
当a₁=-1时，）S₁+1=0{S_n+1}是等比数列，
∴a₁=-1．∴S_n=2ⁿ-1，
an=Sn-Sn-1=2n-1，
∵a₁=1符合a_n=2^n-1
a_n=2^n-1．（6分）
（2）∵nan=n•2n-1，
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n，
两式相减，得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n

1-2

-n•2n=(1-n)•2n-1，（10分）
∴Tn=(n-1)•2n+1．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．