Question

对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号＜x＞表示．对于实数a，无穷数列{a_n}满足如下条件：
①a₁=＜a＞；
②a_n+1=

＜ 1 an ＞ (an≠0) 0            (an=0)

．
（Ⅰ）若a=

2

时，数列{a_n}通项公式为

 

；
（Ⅱ）当a＞

1

3

时，对任意n∈N^*都有a_n=a，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用符号＜x＞的含义，计算，可得a=

2

时，数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）分类讨论，利用符号＜x＞的含义，根据a_n=a，建立方程，即可a的值．

解答： 解：（Ⅰ）若a=

2

时，a1=＜

2

＞=

2

-1，则a₂=＜

1

2 -1

＞=＜

2

+1＞=

2

-1，
∴an=

2

-1．
（Ⅱ）当a＞

1

3

时，由a_n=a知，a＜1，所以a₁=＜a＞=a，a₂=＜

1

a

＞，且

1

a

∈(1，3)．
①当

1

a

∈(1，2)时，a₂=＜

1

a

＞=

1

a

-1，故

1

a

-1=a⇒a=

5 -1

2

（a=

- 5 -1

2

舍去）
②当

1

a

∈[2，3)时，a₂=＜

1

a

＞=

1

a

-2，故

1

a

-2=a⇒a=

2

-1（a=-

2

-1舍去）
综上，a=

2

-1或

5 -1

2

．
故答案为：（Ⅰ）an=

2

-1；（Ⅱ）

2

-1或

5 -1

2

．

点评：本题考查符号＜x＞的含义，考查学生的计算能力，正确理解符号＜x＞的含义是关键．