Question

11．在四边形ABCD中（如图①），AB∥CD，AB⊥BC，G为AD上一点，且AB=AG=1，GD=CD=2，M为GC的中点，点P为边BC上的点，且满足BP=2PC．现沿GC折叠使平面GCD⊥平面ABCG（如图②）．
（1）求证：平面BGD⊥平面GCD：
（2）求直线PM与平面BGD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，证明BG⊥GC，根据平面与平面垂直的性质，证明BG⊥平面GCD，即可证明平面BGD⊥平面GCD：
（2）取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．

解答 （1）证明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2$\sqrt{2}$，cosD=$\frac{1}{3}$，
∴GC=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴BG²+GC²=BC²，∴BG⊥GC，
∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，
∴BG⊥平面GCD，
∵BG?平面GCD，
∴平面BGD⊥平面GCD：
（2）解：取BP的中点H，连接GH，则GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，连接GQ，则∠HGQ为直线GH与平面BGD所成的角，即直线PM与平面BGD所成角．
由（1），作CN⊥GD，则CN⊥平面BGD，
∵HQ⊥平面BGD，
∴HQ∥GN，
∴$\frac{HQ}{CN}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴HQ=$\frac{1}{3}$CN．
△DGC中，GC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由GD•CN=GC•DM，得CN=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴HQ=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∵直角梯形ABCD中，GH=$\frac{4}{3}$，∴sin∠HGQ=$\frac{HQ}{GH}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴直线PM与平面BGD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．