Question

20．在数列{a_n}中，设f（n）=a_n，且f（n）满足f（n+1）-2f（n）=2ⁿ（n∈N*），且a₁=1．
（1）设${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，证明数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得b_n+1-b_n=1，即可证明．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由已知得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
得${b_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{{2{a_n}+{2^n}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+1={b_n}+1$，
∴b_n+1-b_n=1，
又a₁=1，∴b₁=1，
∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=n$，∴${a_n}=n•{2^{n-1}}$．
∴${S_n}=1+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，
两边乘以2，得$2{S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，
两式相减得$-{S_n}=1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴${S_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．