Question

1．如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：DE⊥平面ABE；
（3）求三棱锥B-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥CD，由此能证明AB∥平面CDE．
（2）推导出AE⊥CD，DE⊥AE，从而CD⊥DE，再由DE⊥AB，能证明DE⊥平面ABE．
（3）由AB⊥平面ADE，能求出三棱锥B-ADE的体积．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
AB?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE．
（2）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥CD，DE⊥AE，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴CD⊥DE，
∵AB∥CD，∴DE⊥AB，
∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．
解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADE，
∴三棱锥B-ADE的体积${V}_{B-ADE}=\frac{1}{3}×AB×{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{3}×2×（\frac{1}{2}×\sqrt{4-1}×1）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．