Question

设数列{a_n}满足an+1=

an

2

+

1

an

，（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a1＞

2

，证明：数列{a_n}单调递减；
（Ⅱ）若a₁=2，证明：

2

＜an＜

2

+

1

n

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a1＞

2

，可得a_n＞0，当n≥1时，利用基本不等式的性质可得an+1=

an

2

+

1

an

＞

2

，（n∈N^*）．可得对一切n∈N^*，都有an＞

2

．再证明a_n+1-a_n＜0即可．
（Ⅱ）由a1=2＞

2

，由（Ⅰ）中可知an＞

2

． 用数学归纳法证明an＜

2

+

1

n

即可．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a1＞

2

，∴a_n＞0，
当n≥1时，an+1=

an

2

+

1

an

＞2

an 2 • 1 an

=

2

．
∴对一切n∈N^*，都有an＞

2

．
∵an+1-an=

1

an

-

an

2

=

2- a 2 n

2an

＜0，
∴数列{a_n}单调递减．
（Ⅱ）∵a1=2＞

2

，由（Ⅰ）中可知an＞

2

．  
下面用数学归纳法证明an＜

2

+

1

n

①当n=1时，a1=2＜

2

+

1

n

显然成立．
②假设n=k（k≥1）时，命题成立，即ak＜

2

+

1

k

成立．
那么当n=k+1时，
有ak+1=

ak

2

+

1

ak

＜

2 + 1 k

2

+

1

2

=

2

+

1

2k

≤

2

+

1

k+1

∴当n=k+1时，上述命题也成立
综合①②可得对于任意n∈N^*，有an＜

2

+

1

n

．
因此，

2

＜an＜

2

+

1

n

．

点评：本题考查了数列的单调性、基本不等式的性质、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．