Question

13．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、A₁D₁的中点．
（1）求证：四边形B₁EDF是菱形；
（2）求异面直线A₁C与DE所成的角 （结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B₁BGF为平行四边形，得BG∥B₁F，再由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B₁F∥DE，且B₁F=DE，进一步得到四边形B₁EDF为平行四边形，再由△B₁BE≌△B₁A₁F，可得B₁E=B₁F，得到四边形B₁EDF是菱形；
（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A₁C与DE所成的角．

解答 （1）证明：

取AD中点G，连接FG，BG，可得B₁B∥FG，B₁B=FG，
∴四边形B₁BGF为平行四边形，则BG∥B₁F，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，
可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，
则B₁F∥DE，且B₁F=DE，
∴四边形B₁EDF为平行四边形，由△B₁BE≌△B₁A₁F，可得B₁E=B₁F，
∴四边形B₁EDF是菱形；
（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A₁（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（1，-\frac{1}{2}，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴异面直线A₁C与DE所成的角为arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．