Question

（理）在△ABC中，C为钝角，设M=sin（A+B），N=sinA+sinB，P=cosA+cosB，则M，N，P的大小关系

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和与差的正弦与正弦函数的性质易知M最小，再对N与P作差，利用辅助角公式及正弦函数的单调性即可得到答案．

解答： 解：∵M=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinA+sinB=N，
同理，M＜P，即M最小；
又N-P=sinA+sinB-（cosA+cosB）
=（sinA-cosA）+（sinB-cosB）
=

2

sin（A-

π

4

）+

2

sin（B-

π

4

）
=

2

sin（B-

π

4

）-

2

sin（

π

4

-A）；
设A＜

π

4

，由C为钝角，知A+B＜

π

2

，
∴

π

4

＞

π

4

-A＞B-

π

4

＞-

π

4

，
∴sin（

π

4

-A）＞sin（B-

π

4

），
∴N-P＜0，即N＜P；
∴M，N，P的大小关系为M＜N＜P．
故答案为：M＜N＜P．

点评：本题考查两角和与差的正弦与正弦函数的性质，作差判断N与P的大小是难点，也是关键，考查运算求解能力，属于中档题．