Question

12．求函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的定义域、值域和单调区间．

Answer 1

分析 由解析式有意义求得函数的定义域，求出指数上二次三项式的最小值得函数值域，利用复合函数的单调性求原函数的单调期间．

解答 解：∵对任意实数x函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$都有意义，
∴函数的定义域为R；
令t=x²-3x+2，当x=$\frac{3}{2}$时t有最小值为$-\frac{1}{4}$，
∴y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的最大值为$（\frac{1}{3}）^{-\frac{1}{4}}$=$\root{4}{3}$，
则函数的值域为（0，$\root{4}{3}$]；
函数t=x²-3x+2在（0，$\frac{3}{2}$）上为减函数，在（$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数，
而外函数为减函数，
∴函数y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-3x+2}$的增区间为（0，$\frac{3}{2}$），减区间为（$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，该题是基础题．