Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、K、L分别是DC、DD₁、A₁D₁、A₁B₁、BB₁、BC的中点，O为底面中心，求证：这六点共面．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：接EF、FG、GH、HK、KL、LE、EG、LH、BD、B₁D₁，则EL∥BD，GH∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，从而EL∥GH，过EL、GH做平面ELHG，E、L、H、G共面，设EG、LH与平面BDB₁D₁的交点分别为P、Q，则PQ∥EL∥GH，且P、Q分别为GE、LH的中点，由此能证明E、F、G、H、K、L这六点共面．

解答： 证明：接EF、FG、GH、HK、KL、LE、EG、LH、BD、B₁D₁，
E、L、G、H分别为CD、BC、A₁D₁、A₁B₁中点，
则EL∥BD，GH∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，
则EL∥GH，过EL、GH做平面ELHG，
E、L、H、G共面，设EG、LH与平面BDB₁D₁的交点分别为P、Q，
则PQ∥EL∥GH，且P、Q分别为GE、LH的中点，
连接FP、KQ，则FP∥BD∥KQ，
F、P、Q、K共线，F、K在平面ELHG内，
所以E、F、G、H、K、L这六点共面．

点评：本题考查六点共面的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．