Question

3．如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，∠CBD=45°，
①求直线BC与平面BEF所成的角
②求四面体BDEF的体积．

Answer 1

分析 对第（Ⅰ）问，由于BF⊥AD，要证BF⊥平面ACD，只需证BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；
对第（Ⅱ）问，①判断∠CBE为直线BC与平面BEF所成的角，即可求直线BC与平面BEF所成的角；
②四面体BDEF即三棱锥E-BDF，由CD⊥平面ABD及E为AC的中点知，三棱锥E-BDF的高等于$\frac{1}{2}CD$，在Rt△ABD中，根据BF⊥AD，设法求出S_△BDF，即得四面体BDEF的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，
∵AB⊥圆0所在的平面BCD，且CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，
∵BF?平面ABD，∴CD⊥BF，
又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，
∴BF⊥平面ACD．
（Ⅱ）①∵BF⊥平面ACD，
∴BF⊥AC，
∵BE⊥AC，BE∩BF=B，
∴AC⊥平面BEF，
∴∠CBE为直线BC与平面BEF所成的角，
∴BE=EC，∴直线BC与平面BEF所成的角为45°；
②∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=$\sqrt{2}$，
∵BE⊥AC，∴E为AC的中点，
又CD⊥平面ABD，
∴E到平面BDF的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ABD中，有AD=$\sqrt{6}$，
∵BF⊥AD，由射影定理得BD²=DF•AD，
则DF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四面体BDEF的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}DF•BF•d$=$\frac{1}{9}$．

点评 1．本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现．
2．考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算．