Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=，其中AC与BD交于点G，A₁点在面ABCD上的射影0恰好为线段AD的中点．
（1）求点G到平面ADD₁A₁距离；
（2）若D₁G与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求二面角D₁-OC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BO，取DO中点H，连接GH，由题意可得：平面AD₁⊥平面AC，进而证明BO⊥平面AD₁，由GH与OB的关系可得答案．
（2）建立空间直角坐标系，根据题意分别求出两个平面的法向量，结合向量间的运算关系求出两个向量的夹角．进而转化为二面角的平面角．
解答：解：（1）连接BO，取DO中点H，连接GH，
因为A₁O⊥平面AC，所以平面AD₁⊥平面AC，
又底面为菱形，O为AD中点，
所以BO⊥平面AD₁，
因为GH∥BO，
所以GH⊥平面AD₁，
又GH==，
所以点G到平面ADD₁A₁的距离为．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，
则 ，D₁（-2，0，a），所以，
面AD₁的一个法向量，
所以，解得a=1，
因为面OCD的一个法向量为n=（0，0，1），
设面OCD₁的一个法向量为p=（x，y，z），则，，
则有所以，
取，，
则，
所以二面角D-OC-D₁的大小为．
点评：夹角成立问题的关键是数列掌握几何体的结构特征，以便得到线面关系以及建立坐标系，利用向量夹角空间角，空间距离等问题．