Question

4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为边长为4的正方形，M是BC的中点，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=$2\sqrt{2}$．
（1）求证：ME⊥平面ADE；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD中点N，连结NM，NE，推导出AD⊥ME，过E点，作EO⊥NM于O，推导出NE⊥ME，由此能证明ME⊥面ADE．
（2）过E，F点分别作垂直底面的平面，把多面体ABCDEF分成两个全等的四棱锥和一个三棱柱，由此能求出多面体ABCDEF的体积．

解答 证明：（1）取AD中点N，连结NM，NE，
则AD⊥NM，AD⊥NE，
∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，
过E点，作EO⊥NM于O，
根据题意，得NO=1，OM=3，NE=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，EM=2$\sqrt{3}$，
∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，
∴ME⊥面ADE．
解：（2）过E，F点分别作垂直底面的平面，
把多面体ABCDEF分成两个全等的四棱锥和一个三棱柱，
则多面体ABCDEF的体积V=2×$\frac{1}{3}×1×4×\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×2$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查空间想象能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．