Question

18．已知函数f（x）=|x-2|
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+1）≤2；
（Ⅱ）若a＜0，求证：f（ax）-f（2a）≥af（x）．

Answer 1

分析 （I）由题意可得|x-1|+|x-2|≤2，对x讨论，分当x≤1时，当1＜x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（II）由题意可证f（ax）-af（x）≥f（2a），运用绝对值不等式的性质，求得左边的最小值，即可得证．

解答 解：（I）由题意，得f（x）+f（x+1）=|x-1|+|x-2|，
因此只须解不等式|x-1|+|x-2|≤2，
当x≤1时，原不等式等价于-2x+3≤2，即$\frac{1}{2}$≤x≤1；
当1＜x≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x≤2；
当x＞2时，原不等式等价于2x-3≤2，即2＜x≤$\frac{5}{2}$．
综上，原不等式的解集为{x|$\frac{1}{2}$$≤x≤\frac{5}{2}$}．
（II）证明：由题意得f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|
=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|
=|2a-2|=f（2a）．
所以f（ax）-f（2a）≥af（x）成立．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．