Question

已知平面内三点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：
（1）|2

AB

+

AC

|；
（2）

AB

与

AC

的夹角；
（3）求与

BC

垂直的单位向量的坐标．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意求得2A

B

+A

C

的坐标，可得|2A

B

+A

C

|的值．
（2）设

AB

与

AC

的夹角为θ，则由cosθ=

AB • AC

| AB |•| AC |

的值，求得θ的值．
（3）设与

BC

垂直的单位向量的坐标为（x，y），则由

BC

•（x，y）=0，且x²+y²=1 求得x、y的值，可得要求的向量的坐标．

解答： 解：（1）由题意可得，

AB

=（-1，1），

AC

=（1，5），∴2A

B

+A

C

=（-1，7），∴|2A

B

+A

C

|=

1+49

=5

2

．
（2）设

AB

与

AC

的夹角为θ，则cosθ=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

-1+5

2 • 26

=

2 13

13

，∴θ=arccos

2 13

13

．
（3）设与

BC

垂直的单位向量的坐标为（x，y），∵

BC

•（x，y）=（2，4）•（x，y）=2x+4y=0，且x²+y²=1，
求得

x= 2 5 5 y= 5 5

，或 

x=- 2 5 5 y=- 5 5

，∴要求的向量的坐标为（

2 5

5

，

5

5

），或（-

2 5

5

，-

5

5

）．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．