Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），连接椭圆的四个顶点得到菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过原点，交椭圆于A、B两点，弦长为3，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设菱形的面积为S，可得S=$\frac{1}{2}$•2a•2=4，解得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，求得交点，由两点的距离公式，解得斜率，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）设菱形的面积为S，
由题意可得S=$\frac{1}{2}$•2a•2=4，
解得a=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）显然直线的斜率存在，设为k，
即直线方程为y=kx，
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²=4，
解得x=±$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
可设A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
由题意可得|AB|=$\sqrt{\frac{16}{1+4{k}^{2}}+\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=3，
解得k=±$\frac{\sqrt{35}}{10}$，
即有直线AB的方程为y═±$\frac{\sqrt{35}}{10}$x．

点评 本题考查椭圆的方程的求法和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于基础题．