Question

17．已知f（x）=（x-4）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=27，则f（a₅）的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 3
• D． 5

Answer 1

分析 f（x）=（x-4）³+x-1，可得f（x）-3=（x-4）³+x-4，令x-4=t，可得函数g（t）=t³+t为奇函数且单调递增．{a_n}是公差不为0的等差数列，可得a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅．由f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）
=27，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₉）=0，因此g（a₅）=0，即可得出．

解答 解：∵f（x）=（x-4）³+x-1，
∴f（x）-3=（x-4）³+x-4=g（x-4），
令x-4=t，可得函数g（t）=t³+t为奇函数且单调递增．
{a_n}是公差不为0的等差数列，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅．
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=27，
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₉）=0，
∴g（a₅）=0，
则f（a₅）=g（a₅）+3=3．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列通项公式及其性质、函数的奇偶性与单调性、构造函数方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．