题目内容
13．求证：函数f（x）=$\frac{x+a}{x+1}$（a＞1）在区间（-1，+∞）上是减函数．分析 根据函数单调性的定义证明即可．
解答 解：设?x1，x2∈（-1，+∞）且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}+a}{{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}+a}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（1-a）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$，
∵${x_1}，{x_2}∈（-1，+∞），且{x_1}＜{x_2}\\$，
∴${x_1}+1＞0，{x_2}+1＞0，{x_1}-{x_2}＜0\\ \begin{array}{l}{又}&{\;}\end{array}a＞1\\$，
∴$1-a＜0\\$，
∴$\frac{{（1-a）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＞0，即f（{x_1}）-f（{x_2}）＞0\\$，
∴$f（{x_1}）＞f（{x_2}）\\，故函数f（x）在区间（-1，+∞）是减函数．\end{array}$．
点评 本题考查了函数单调性的定义，是一道基础题．
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